اسرار بی نهایت

 بی نهایت حقیقتا عجیب و شگفت انگیز است. فرض کنید بی نهایت عدد سیب داشته باشید حال اگر یک سیب از سیب های خود را به دوستتان بدهید، باز هم همان بی نهایت سیب را دارید و حتی یک سیب هم از سیب هایتان کم نشده است ! حال فرض کنید در حساب بانکی خود بی نهایت تومان پول داشته باشید . در این صورت می توانید بی نهایت تومان از حساب بانکی خود برداشت کنید و به دوستانتان ببخشید و در موجودی حسابتان هیچ تغییری ایجاد نخواهد شد. شما هنوز هم بی نهایت ثروتمندید و حتی یک تومان هم نسبت به قبل کمتر ندارید و این در حالی است که اکنون دوستان شما نیز مانند شما بی نهایت ثروتمند شده اند.   اگر از این مثال ها حیرت زده شده اید، هیج جای تعجب نیست؛ جرا که فیلسوف ها و ریاضیدان ها هم در مواجهه با بی نهایت دقیقا همین حس شما را دارند. آنها هم قرن ­هاست که در جستجوی پاسخ این پرسش اسرارآمیزهستند: به راستی مفهوم " بی نهایت " چیست؟

تاریخچه مفهوم شگفت انگیز بی نهایت، از گذشته های دور ذهن ریاضی دانان را به خود مشغول کرده بود. هر چند برخی معتقدند که مفهوم بی نهایت برای نخستین بار در تمدن هند باستان مطرح شده است، اما می توان گفت که نخستین کار جدی در مورد بی نهایت در عرصه ریاضیات به دوران یونان باستان و تحقیقات اقلیدس بر روی اعداد اول باز می گردد. اقلیدس در کتاب مشهور " اصول " خود هر چند مستقیماً نامی از بی نهایت نمی برد، اما به طور ضمنی به آن اشاره می کند که " بزرگترین عدد اول، از حاصل ضرب هر تعداد مفروضی از اعداد اول هم بزرگتر است ". پس از اقلیدس، پژوهش در مورد بی نهایت توسط سایر ریاضی دانان همچنان ادامه یافت تا سرانجام نماد ∞ به عنوان نماد ابن مفهوم اسرارآمیز پا به عرصه ریاضیات گذاشت.

با آغاز عصر جدید، پژوهش در مورد بی نهایت همچنان ادامه یافت. در این دوران " گاتفرید ویلهلم لایبنیتز" و " ایزاک نیوتن " برای نخستین بار از وجود مفهوم جدیدی به نام " بی نهایت کوچک " در عرصه ریاضیات پرده برداشتند. بی نهایت کوچک که عملا از همان مفهوم بی نهایت مشتق شده است، عددی مثبت است که از هر عدد مثبت مفروض دیگری کوچکتر است. بدین ترتیب " بی نهایت " به همراه پسر عموی کوچک خود یعنی بی نهایت کوچک، پایه های  عرصه بدیعی از ریاضیات به نام " حساب دیفرانسیل و انتگرال " ( حسابان) را شکل دادند و ابن گونه بود که بی نهایت عملا به مهمترین مفهوم در علوم و مهندسی جدید تبدیل شد.اما در حالی که دانشمندان و مهندسان به کاربردهای بی نهایت بسنده کرده بودند، تلاش برای کشف دیگر ویژگی های این مفهوم اسرارآمیز در عرصه ریاضیات همچنان ادامه یافت.

این تلاش ها در سال 1874 میلادی به نقطه عطفی رسید، زیرا در این سال بود که " جورج کانتور " ،ریاضی دان بزرگ روسی - آلمانی، به کشف حیرت انگیزی در مورد بی نهایت دست یافت: این که اگر چه بی نهایت، بی نهایت بزرگ است، اما با این حال بزرگتر از آن هم وجود دارد! این کشف، فوق العاده عجیب بود؛ چرا که می دانیم که بی نهایت از هر عدد قابل تصوّری بزرگتر است. پس چگونه ممکن است چیزی بزرگتر از بی نهایت هم وجود داشته باشد؟ در پاسخ باید گفت که هر چیزی که از بی نهایت بزرگتر باشد، اول از همه خودش باید بی نهایت باشد. بنابراین در واقع کانتور کشف کرد که بعضی بی نهایت ها از بعضی دیگر از بی نهایت ها بزرگتر هستند! اما به راستی چگونه ؟ آخر اگر بی نهایت، بی نهایت بزرگ است ، پس چگونه ممکن است بزرگتر از آن هم وجود داشته باشد؟!

  هنگامی که کانتور کشف عجیب و شگفت انگیز خود را برای سایر ریاضی دانان بازگو کرد،همگی تصور کردند که او دچار نوعی جنون شده است! به همین دلیل هم هنوز چند سالی از این کشف عجیب نگذشته بود که کانتور دچار افسردگی شدید شد.

علت افسردگی شدید او کناره گیری از همکارانش و ناامید شدن از آنها و سایر ریاضی دانان بود؛ چرا که هرچه کشف مهم خود را برای آنها توضیح می داد،هیچ کس متوجه آن نمی شد در واقع این ریاضی دانان نسل بعد بودند که نهایتا به اهمیت فوق العاده کشف کانتور پی بردند.   اما به راستی  کانتور چگونه به چنین نتیجه حیرت انگیزی رسیده بود؟ پاسخ این معما به شاخه ای از ریاضیات باز می گردد که توسط خود کانتور بسط داده شده بود و امروزه " نظریه مجموعه ها " نامیده می شود.

تحلیل ریاضی بینهایت

  مفاهیم بنیادیدنباله عدد های صحیح مثبت    ..., 1,2,3   نخستین و مهمترین نمونه از مجموعه های نا متناهی است. در اینکه این دنباله پایان یا انتها یا « نهایت»ی ندارد هیچ ابهامی وجود ندارد زیرا هر قدر عدد صحیح n  بزرگ باشد، همواره می توان عدد صحیح بعدی ، n + 1 ، را تشکیل داد. اما در گذار از صفت « نا متناهی » یا « بینهایت » به اسم  « بینهایت » نباید تصور کرد « بینهایت »، که معمولا با نماد ویژه ∞ نمایانده می شود، همچون یک عدد معمولی است. نمی توان نماد ∞ را در دستگاه اعداد حقیقی منظور کرد و در عین حال قواعد بنیادی حساب را محفوظ نگه داشت.

با این حال، مفهوم بینهایت در همه جای ریاضیات حضور دارد زیرا اشیای ریاضی معمولا نه به صورت انفرادی و جداگانه بلکه به عنوان اعضای رده ها یا توده هایی که بینهایت شی ء همنوع دارند ، مانند مجموعه عدد های صحیح یا عدد های حقیقی یا مثلث ها در یک صفحه، مورد مطالعه قرار می گیرند. به این دلیل، تحلیل دقیق بینهایت ریاضی ضرورت دارد. 

نظریه نوین مجموعه ها که در اواخر قرن نوزدهم به وسیله جورج کانتور و پیروان مکتب او خلق شده، به این مسئله پرداخته و توفیق خیره کننده ای در حل آن بدست آورده است. نظریه کانتور در باب مجموعه ها در بسیاری از شاخه های ریاضی رخنه کرده و در آن ها به شدت تاثیر گذاشته، و در مطالعه مبانی منطقی و فلسفی ریاضیات اهمیتی اساسی یافته است.

 نقطه شروع این نظریه مفهوم مجموعه یا توده است. 

منظور از این کلمه، هر گردآیه ای از چیزهاست که با قاعده ای تعریف می شود که به دقت مشخص می کند کدام چیزها به گردآیه مفروض تعلق دارند. به عنوان مثال می توان از مجموعه همه اعداد های صحیح مثبت، مجموعه همه کسرهای اعشاری دوره ای، مجموعه همه عدد های حقیقی، یا مجموعه همه خط های راست در فضا سه بعدی، نام برد.

مفهوم اساسی در مقایسه « اندازه » دو مجموعه، مفهوم « هم ارزی » است. اگر عضو های دو مجموعهA و B را بتوان چنان با هم جفت کرد که به هر عضو A یک و فقط یک عضو B و به هر عضو B یک و فقط یک عضو A نظیر شود، این تناظر را دو سویی می نامند و می گویند A و B هم ارزند. مفهوم هم ارزی برای مجموعه های متناهی با مفهوم معمولی برابری تعداد اعضا یکی است زیرا تعداد عضو های دو مجموعه متناهی یکی است اگر و تنها اگر بتوان تناظری بین آنها برقرار کرد. 

این موضوع در واقع همان ایده شمارش است زیرا وقتی مجموعه ای متناهی از چیز ها را می شماریم، صرفاً تناظری دو سویی بین آن چیزها و مجموعه ای از نمادهای عددی 1،2، 3 ،... ، برقرار می سازیم.برای اثبات هم ارزی دو مجموعه متناهی همیشه لازم نیست اشیای موجود در آنها را بشمریم. مثلاًَ می توانیم بدون شمارش ادعا کنیم که هر مجموعه متناهی از دایره های به شعاع 1 با مجموعه مرکز های آنها هم ارز است.

گروه ریاضی شهرستان بوکان 

اکابریان