X
تبلیغات
نماشا
رایتل

وبلاگ گروه ریاضی متوسطه شهرستان بوکان
این وبلاگ برای استفاده دانش آموزان ودبیران وتمام علاقه مندان به علم ریاضی طراحی شده است. 
قالب وبلاگ
آخرین مطالب

 

اعداد فیبوناتچی و طبیعت

   این مقاله شامل دو بخش است.  

در بخش اول دنباله ی فیبوناتچی را معرفی می کنیم و در بخش دوم کاربرد این دنباله و نسبت طلایی را در طبیعت ارائه می دهیم.

  بخش اول عبارت است از:  

الف) خرگوش های فیبوناتچی  

ب) زنبورهای عسل ونمودار درختی

  ج) اعداد فیبوناتچی و نسبت طلایی  

د) مستطیل های فیبوناتچی و مارپیچ ها  

بخش دوم عبارت است از:  

ه) اعداد فیبوناتچی و نسبت طلایی در گیاهان  

و) اعداد فیبوناتچی در انگشتان     

بخش اول    

الف) خرگوش های فیبوناتچی

 مسأله ای که اولین بار فیبوناتچی آن را در سال 1202 مطرح کرد این بود که با چه سرعتی خرگوش ها در یک دوره ی ایده آل تولید مثل می کنند؟  فرش کنید یک زوج از خرگوش ها شامل یک خزگوش نر و یک ماده نازه به دنیا آمده اند. خرگوش ها می توانند در یک ماهگی جفت شوند به طوری که در انتهای ماه دوم می توانند یک جفت دیگر از خرگوش ها را به وجود آورند

. فرض کنید خرگوش ها هرگز نمی میرند و نیز خرگوش ماده همیشه یک جفت خرگوش شامل یک نر و یک ماده در هر ماه ( از ماه دوم به بعد ) به دنیا می آورد.

معمای فیبوناتچی این بود که در یک سال چند جفت خرگوش به وجود می آید؟

  1.       در انتهای ماه اول دو خرگوش جفت شده اما هنوز یک جفت خرگوش وجود دارد

 2.       در انتهای ماه دوم یک جفت خرگوش جدید تولید می شود بنابراین دو جفت خرگوش وجود دارد.  3.       در انتهای سومین ماه خرگوش ماده ی اول زوج دیگری را به دنیا می آورد پس سه جفت خرگوش وجود دارد.  

4.       در انتهای ماه چهارم خرگوش ماده ی اول یک جفت دیگر و خرگوش ماده ی دوم که در ماه دوم به دنیا آمده بوداولین جفت خرگوش را به دنیا می آورد لذا پنج جفت خرگوش وجود خواهد داشت.  بنابراین الگوی عددی زیر برای تعداد جفت ها ی به وجود آمده را داریم:                                                                                                                          ... ، 8 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1 ، 1  اگر  تعداد جفت خرگوش ها بعد از n ماه باشد آنگاه داریم:                                                         

   نمودار درختی خانواده ی خرگوش ها به صورت زیر است:  

در این مسأله باید توجه داشت که خرگوش های خواهر و برادر می توانند جفت شوند. به عبارت دیگر هر خرگوش ماده از هر جفت می تواند با هر خرگوش نر جفت شود و یک جفت جدید را تولید کنند. دیگر آن که در هر تولد دقیقا دو خرگوش نر و ماده به دنیا می آید.

  ب) زنبور های عسل و نمودار درختی  

 بیش از 3000 گونه زنبور وجود دارد و بیشتر آن ها به تنهایی زندگی می کنند. یکی از مهم ترین نکاتی که درباره ی زنبور های عسل می دانیم این است که گروهی و در کندو زندگی می کنند و نمودار درختی آن ها غیر معمولی دارند. 

در حقیقت گونه هایی از زنبورهای عسل وجود دارد و در این قسمت رابطه ی اعداد فیبوناتچی را با اجداد یک زنبور عسل نشان می دهیم. یک حقیقت در مورد زنبور های عسل این است که همه ی آن ها دو والد ندارند.

    در یک کندو یک زنبور ماده خاص یعنی ملکه وجود دارد.  تعداد زیادی زنبور کارگر ماده نیز وجود دارند اما شبیه ملکه نیستند. آن ها تخم گذاری نمی کنند.   تعدادی زنبور نر وجود دارد که هیچ کاری انجام نمی دهند.   

همه ی زنبور های ماده از جفت شدن ملکه با یک زنبور نر به وجود می آیند و بنابراین دو والد دارند. زنبور های ماده در انتها زنبور کارگر می شوند اما بعضی از آن ها با ماده خاصی تغذیه شده و تبدیل به ملکه می شوند تا وقتی زنبور ها تشکیل یک گروه بزرگ می دهند و کندوی خود را به منظور جستجوی مکانی برای ساختن لانه ی جدید ترک می کنند یک مستعمره ی جدید ایجاد کند.  

بنابراین زنبور های ماده ( ملکه ) دو والد یکی نر و یکی ماده دارند در حالی که زنبور های نر دقیقا یک والد یعنی زنبور ماده دارند.  در زیر نمودار درختی مربوطه نشان داده شده است.. 

در این نمودار والدین در قسمت بالای فرزندان قرار دارند. بنابراین هرچه در نمودار بالاتر برویم زنبور ها قدیمی تر هستند.

  ج) اعداد فیبوناتچی و نسبت طلایی

 اگر دو عدد متوالی در دنباله ی فیبوناتچی را بر هم تقسیم کنیم به نظر می رسد نسبت ها به مقدار مشخصی می رسند که آن را نسبت طلایی یا عدد طلایی می گوییم. نقدار تقریبی آن 1.618034 است. نسبت یا عدد طلایی را جزء طلایی یا میانگین طلایی نیز نامیده شده و با نماد  نشان داده می شود. قسمت اعشاری آن یعنی.618034 0 را با p نشان می دهیم.

  د) مستطیل های فیبوناتچی و مارپیچ ها  

تصویر دیگری برای نشان دادن اعداد فیبوناتچی می توان ساخت. اگر دو مربع کوچک با طول ضلع 1 را در کنار هم قرار دهیم و روی هر دوی آن ها مربعی یه طول ضلع 2 رسم کنیم. سپس می توانیم مربع جدیدی که طول ضلع آن 3 است را طوری رسم کنیم که یکی از اضلاع آن مماس بر یک ضلع مربع با طول ضلع 2 و یکی از اضلاع دو مربع اولیه باشد. با ادامه ی این روند مربعات جدیدی ایجاد می شود که هر مربع جدید ضلعی دارد که طول آن مجموع طول اضلاع دو مربع آخر است

در شکل مستطیل هایی ایجاد می شود که طول اضلاع آن ها اعداد متوالی فیبوناتچی هستند. این مستطیل ها را مستطیل های فیبوناتچی می نامیم

.  در شکل زیر یک مارپیچ با زسم یک ربع از دایره در مستطیل کشیده شده است. 


اگرچه این مارپیچ یک مارپیچ ریاضی صحیحی نیست اما تقریب مناسبی برای نوعی از مارپیچ است که اغلب در طبیعت ظاهر می شود. چنین مارپیچ های به شکل پوسته های حلزون هستند و بعدا خواهیم دید که در ترتیب دانه های روی گیاهان گلدار نیز ظاهر می شوند.                      

     بخش دوم   

ه) اعداد فیبوناتچی و نسبت طلایی در گیاهان  

یک گیاه مخصوصا در تعداد نقاط رشد اعداد فیبوناتچی را نشان می دهد. فرض کنید وقتی یک گیاه جوانه می زند آن جوانه باید قبل از شاخه دار شدن در دو ماه رشد کند. اگر گیاه هر ماه بعد از شروع رشد دارای شاخه شود شکل زیر را داریم:  

در اکثر گیاهان تعداد گلبرگ ها اعداد فیبوناتچی هستند.  گل های لی لی و آیریس 3 گلبرگ دارند. اغلب لی لی ها 6 گلبرگ دارند که دو مجموعه ی 3 تایی را تشکیل می دهند. رز وحشی و گل صورتی 5 گلبرگ دارند.                                                                                                    

                                                                                                                     

   

 ها 8 گلبرگ دارند. سینراریا 13 گلبرگ و نوعی سوسن 21 گلبرگ دارند.  اعدادفیبوناتچی را نیز می توان در ترتیب تخم های روی سرهای گل مشاهده کرد مانند تصویر های زیر.   

   

   شما می توانید گلبرگ های نارنجی رنگ را به شکل مارپیچ هم از راست و هم از چپ ببینید. در گوشه ای از تصویر اگر مارپیچ های سمت راست را بشمارید 55 نارپچ وجود دارد. اگر کمی به طرف مرکز حرکت کنید می توانید 34 مارپیچ را بشمرید. این اعداد دو عدد متوالی در دنباله ی فیبوناتچی هستند.

     در تصویر زیر یک گل آفتاب گردان با 89 و 55 مارپیچ مشاهده می شود.                                  


       میوه های کاج نیز به وضوح مارپیچ فیبوناتچی را نشان می دهند. 

در زیر تصویری از یک میوه ی کاج معمولی را از قسمتی که به درخت متصل است مشاهده می کنید.

  

همچنین در بسیاری از گیاهان اعداد فیبوناتچی در ترتیب برگ ها دخالت دارد. اگر به یک گیاه توجه کنم غالبا برگ ها طوری قرار گرفته اند که برگ های زیر خود را نمی پوشانند. اعداد فیبوناتچی به این صورت ظاهر می شوند که:  

در حالی که تعداد برگ ها در یک دور را می شمرید تعداد رفعاتی که دور ساقه ها چرخیده و نیز از یک برگ به برگ دیگر می روید را بشمرید. اگر این عمل را در جهت حرکت عقربه های ساعت یا در خلاف آن انجام دهید سه عدد فیبوناتچی متوالی را به دست می آورید.  

.               گردش ساعت وار  تعداد برگ      1     3      2     5      3     8                                                                                                                                                                            در زیر تصویری از یک گل کلم معمولی و یک گیاه را مشاهده می کنید. گل کلم تقریبا شبیه به یک پنج ضلعی است. اگر دقت کنید یک نقطه ی مرکزی در آن می بینید و خواهید دید که گل ها در مارپیچ های حول این مرکز در دو جهت قرار گرفته اند.


  اعداد فیبوناتچی در انگشتان   به دست خود دقت کنید. شما دو دست داررید که هر کدام 5 انگشت و هر انگشت 3 قسمت جدا شده توسط دو بند دارد. آیا این یک انطباق نیست؟                                                                                                                                                                           اما اگر طول انگشت هایتان را اندازه بگیرید آنگاه نسبت بلندترین انگشت به انگشت وسط همان نسبت طلایی است.  به نظر شما نسبت طول انگشت وسط به طول کوچک ترین انگشت چیست؟                                                                                                                                                  در نهایت توجه داشته باشید که اگر چه اعداد فیبوناتچی و نسبت طلایی در بسیاری ازموقعیت های طبیعی ظاهر می شوند اما تنها این اعداد نیستند. H S M Coxeter در مقدمه ای بر هندسه (1961, Wiley, page 172) به موارد زیر اشاره می کند:  باید پذیرفت که در بعضی از گیاهان اعداد به دست آمده متعلق به دنباله ی فیبوناتچی نیستند اما اعداد دنباله ی لوکاس یا دنباله های                                          ... ، 16 ، 9 ، 7 ، 2، 5                یا               ... ، 9 ، 5 ، 4 ، 1 ، 3  هستند. دنباله ی لوکاس دنباله ای است که مشابه دنباله ی فیبوناتچی است با این تفاوت که دنباله ی فیبوناتچی با 0 و 1 شروع می شود ولی دنباله ی ل  وکاس با 2 و 1 شروع می شود. یعنی دنباله ای به صورت       ... ، 7 ، 4 ، 3 ، 1 ، 2

[ دوشنبه 19 اسفند 1392 ] [ 00:01 ] [ نویسنده: اکابریان ]
.: Weblog Themes By SibTheme :.

درباره وبلاگ

این وبلاگ به وسیله ی سرگروههای آموزشی ریاضی شهرستان بوکان جهت اطلاع رسانی به همکاران محترم و همچنین کمک به دانش آموزان و علاقه مندان به ریاضی ایجاد شده است.لطفا با نظرات و انتقادات سازنده خودتان ما را در کارایی هر چه بیشتر آن یاری فرمایید. اکابریان
آمار سایت
تعداد بازدید ها: 107116

SusaWebTools